费曼:微积分是天主的说话

 经典案例     |      2021-03-30

本文摘自中信出版·鹦鹉螺《微积分的力量》,【遇见数学】已获授权

异国微积分,吾们就不会拥有手机、计算机和微波炉,也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查,以及为迷路的旅走者导航的GPS(全球定位编制)。吾们更无法破碎原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球,甚至有能够无缘于《自力宣言》。

有一栽稀奇而兴趣的历史不都雅点认为,世界被一个奥秘的数学分支彻底转折了。一个最初与形状有关的理论,最后又如何重塑了雅致?

吾们能够从物理学家理查德·费曼的一句妙语中洞见这个题目的答案,这句话是他在与幼说家赫尔曼·沃克商议曼哈顿计划时说的。那时沃克正在为他计划写作的一部关于“二战”的长篇幼说做调研,他去添州理工学院采访了参与过原子弹研发的物理学家,费曼就是其中之一。采访终结临别之际,费曼问沃克是否晓畅微积分。沃克坦承他并不晓畅, 于是费曼说道:“你最益学学微积分,它是天主的说话。”

宇宙是高度数学化的,但因为尚无人知晓。这也许是包含吾们在内的宇宙的唯一可走的存在方式,由于非数学化的宇宙无法袒护能够挑出这个题目的灵敏生命。不论如何,一个奥秘且不走思议的原形是,吾们的宇宙按照的自然律最后总能用微积分的说话和微分方程的形态外达出来。这类方程能描述某个事物在这一刻和在下一刻之间的迥异,或者某个事物在这一点和在与该点无限挨近的下一个点之间的迥异。尽管细节会随着吾们探讨的详细内容而有所分别,但自然律的组织总是相通的。这个令人惊叹的说法也能够外述为,益似存在着某栽相通宇宙暗号的东西,即一个能让万物往往处处不息转折的操作编制。微积分行使了这栽规则,并将其外述出来。

艾萨克·牛顿是最早瞥见这一宇宙稀奇的人。他发现走星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都能够用一组微分方程来描述、注释和展望。现在,吾们把这些方程称为牛顿活动定律和万有引力定律。自牛顿以来, 每当有新的宇宙稀奇被揭开,吾们就会发现同样的模式一向有效。从迂腐的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、暗洞和超弦,宇宙中所有无生命的东西都按照微分方程的规则。吾敢打赌,这就是费曼说“微积分是天主的说话”时想要外达的意思。倘若有什么东西称得上宇宙的稀奇,那么非微积分莫属。

图片来自Caltech Archives

人类在不经意间发现了这栽稀奇的说话(先是在几何学的湮没角落里,后来是在宇宙暗号中),然后学会谙练地行使它,并破译了它的习语和奇妙之处,最后行使它的展望能力去重构世界。

这是本书的中间论点。

倘若这个论点是切确的,那么它意味着关于生命、宇宙和万物的最终题目的答案并不是42,为此吾要向道格拉斯·亚当斯和《银河系漫游指南》的粉丝致歉。但“深思”(《银河系漫游指南》中的一台超级计算机)的解题思路是切确的,由于宇宙的稀奇实在是一系列数学题目。

费曼的那句妙语“微积分是天主的说话”,引出了很众深邃的题目。什么是微积分?人类如何断定它是天主的说话(或者说,宇宙基于这栽说话在运转)?什么是微分方程?在牛顿的时代和吾们的时代,微分方程为世界带来了什么?末了,这些故事和不都雅点如何能被兴趣且明了易懂地传达给像赫尔曼·沃克那样的友谊读者呢,他们勤于思考、足够益奇心、知识广博但几乎异国学过高等数学?

沃克在他与费曼重逢故事的末了片面写道,他在14年里首终异国抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇幼说从原计划的一部变成了两部——《搏斗风云》和《搏斗与回忆》,每部都长达1000页旁边。在完善这两部幼说后,他试图经由过程浏览像《微积分一点通》如许的书自学微积分,但效率并不益。他翻阅了几本教科书,用他本身的话说,就是期待“遇到一本正当的书,它能够协助像吾如许对数学几乎一窍不通的人。

吾在青少年时期产生了探寻存在之意义的渴求,大学期间就只学习了文学与形而上学等人文学科,于是吾并不晓畅别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是天主的说话”。在发现本身看不懂教科书之后,他约请了一位以色列的数学家教,期待能跟着他学点儿微积分,趁便升迁一下希伯来语口语程度,但这两个期待都破灭了。末了,失看的他旁听了高中的微积分课程,但由于进度落后太众,几个月后他不得不屏舍。在他走出教室时,孩子们一首为他鼓掌,他说这就像对一场可怜的外演报以怜悯的掌声。

吾之于是写作本书,就是为了让每幼我都能晓畅关于微积分的最精彩的思维和故事。吾们没必要采用赫尔曼·沃克的方法去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科,尽管微积分是人类最具启迪性的整体收获之一。吾们不消为了理解微积分的主要性而学习如何做运算,就像吾们不消为了享用美食而学习如何做佳肴相通。吾将借助图片、隐喻和趣闻逸事等,尝试注释吾们必要晓畅的一致。吾也会给你们介绍有史以来最详细的一些方程和表明,就像吾们在参不都雅画廊的时候不会错过其中的代外作相通。至于赫尔曼·沃克,在吾写作本书的时候,他已经103岁了。吾不晓畅他有异国学会微积分,倘若还异国,这本书就很正当沃克师长。

现在你答该很明了,吾将从行使数学家的角度讲述微积分的故事和主要性。而数学史家则会选择分别的角度,纯粹数学家亦然。行为别名行使数学家,真实吸引吾的是吾们周围的实际世界和吾们头脑中的理想世界之间的相互作用。外界的形象引导着吾们挑出数学题目;逆过来, 吾们的数学想象未必也会预言实际世界中的事情。当这一致真实发生时, 将会产生不走思议的效率。

要想成为一位行使数学家,既要有外向型思维,又要有广博的知识。对吾们这个周围的人来说,数学并不是一个由自吾赞许的定理和表明组成的原首、封闭的世界。吾们会欣然批准各栽各样的学科:形而上学,政治学,科学,历史,医学,等等。于是,吾想给行家讲述的故事是:由微积分主宰的世界。

这是一栽比以去更宽泛的微积分不都雅,包含了数学和有关学科中的很众分支,它们要么是微积分的“外兄弟”,要么是微积分的“副产品”。由于这栽“大帐篷”不都雅是专门规的,于是吾要确保它不会造成任何杂沓。比如,吾在前文中说过,倘若异国微积分,吾们就不会拥有电脑和手机等,吾的意思自然不是说微积分本身创造了所有这些稀奇。原形远非如此,科学和技术是必不走少的搭档,或者能够说是这出大戏的主角。吾只想说,尽管微积分往往扮演的是副角,但也为塑造吾们今天的世界做出了主要贡献。

以无线通信的发展史为例。它最先于迈克尔·法拉第和安德烈·玛丽·安培等科学家发现的电磁定律,倘若异国他们的不都雅察和逆复修整, 那些关于磁体、电流及其不走见力场的主要原形将仍不为人所知,无线通信的能够性也永久无法实现。于是,实验物理学在这边隐微首到了不走或缺的作用。

但是,微积分同样很主要。19世纪60年代,一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家,将电磁场的基本实验定律改写为一栽可进走微积分运算的符号形态。经过一番变换,他得到了一个毫有时义的方程,隐微有某栽东西缺失了。麦克斯韦疑心安培定律是罪魁祸首,并尝试修整它,于是他在本身的方程中添入了一个新项——能够化解矛盾的伪想电流,然后又行使微积分做了一番运算。这次他得到了一个相符理的终局——一个简洁的震动方程,它与描述池塘中悠扬扩散的方程很像。

只不过麦克斯韦方程还预言了一栽新波的存在,这栽波是由相互作用的电场和磁场产生的。一个转折的电场会产生一个转折的磁场,一个转折的磁场又会产生一个转折的电场,以此类推,每个场都会引导另一个场向前活动,一首以走波的形态向张扬递能量。当麦克斯韦计算这栽波的速度时,他发现它是以光速活动的,这绝对是历史上最令人惊喜的时刻之一。因此,他不光行使微积分展望出电磁波的存在,还解开了一个迂腐的谜题:光的性质是什么?他认识到,光就是一栽电磁波。

麦克斯韦的电磁波展望促使海因里希·赫兹在1887年做了一项实验, 从而表明了电磁波的存在。10年后,尼古拉·特斯拉建造了第一个无线电通信编制;又过了5年,伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大泰西的无线电报。接下来,电视、手机和其他设备也一连展现了。

隐微,微积分不能够自力做到这一致。但同样显而易见的是,倘若异国微积分,这一致就不会发生。或者更实在地说,即使有能够,也要很久之后才会实现。

麦克斯韦的故事表现了一个吾们将会逆复看到的主题。人们常说数学是科学的说话,这是专门有道理的。在电磁波的例子中,对麦克斯韦而言,将他在实验中发现的定律转化为用微积分说话外述的方程,这是至关主要的第一步。

但是,用说话来类比微积分的做法并不周详。微积分和其他数学形态相通,不光是一栽说话,照样一个专门兴旺的推理编制。按照某些规则进走各栽符号运算,微积分能够协助吾们实现方程之间的转换。这些规则有踏实的逻辑根基,尽管看上去吾们只是在随机变换符号的位置, 但实际上吾们是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有效的简化方法,也是构建人脑无法处理的复杂论证过程的浅易方式。

倘若吾们有余幸运和熟练,能以切确的方式进走方程变换,就能够展现这些方程的暗藏含义。对数学家来说,这个过程几乎是易于察觉的, 就相通吾们在操控着方程,给它们做按摩,辛勤让它们放松下来,末了洞悉它们的隐秘。吾们期待他们能敞喜悦扉,跟吾们交谈。

这个过程离不开创造力,由于吾们清淡不明了答该进走哪些操作。在麦克斯韦的例子中,他能够选择的方程变换方式有众数栽,尽管所有方式都相符乎逻辑,但其中只有一片面能展现出科学原形。由于麦克斯韦根本不晓畅本身要寻觅什么,除了毫无逻辑的说话(或者符号)之外, 他从方程中很能够什么终局也得不到。但幸运的是,这些方程实在含有待展现的隐秘。在正当的刺激下,它们“披展现”震动方程。

此时,微积分的说话功能再次掌控了主导权。当麦克斯韦将他的抽象符号转换回实际时,它们做出了展望:行为一栽不走见的走波,电和磁能一首以光速传播。在接下来的几十年里,这一发现转折了世界。

微积分竟然能如此特出地模拟大自然,这实在是太稀奇了,毕竟它们属于两个分别的周围。微积分是一个由符号和逻辑组成的想象周围, 大自然则是一个由力和形象组成的实际周围。但不知为何,倘若从实际到符号的转换有余纤巧,微积分的逻辑就能够行使实际世界的一个真理生成另一个真理,即输入一个真理,然后输出另一个真理。吾们先要有一个被经验表明为真和用符号外述(就像麦克斯韦对电磁定律的改写相通)的真理,然后进走切确的逻辑操作,末了得出另一个经验真理,这个真理有能够是新的,是从异国人晓畅的关于宇宙的原形(比如电磁波的存在)。就如许,微积分让吾们放眼异日,展望未知。正由于如此,它成了兴旺的科技工具。

但是,为什么宇宙要按照各栽逻辑,甚至包括细微的人类也能发现的那栽逻辑呢?当喜欢因斯坦写下“世界的永恒之谜在于它的可理解性” 时,让他惊叹不已的正是这个题目;当尤金·维格纳在论文《论数学在自然科学中的分歧理的有效性》中写下“数学说话在外述物理定律方面的正当性是一个稀奇,是一份吾们既不理解也不配拥有的稀奇礼物”时, 他想要外达的也是这个意思。

这栽敬畏感可追溯至数学形成时期。相传公元前550年旁边,当毕达哥拉斯及其信徒发现音笑由整数比支配时,他就产生了这栽感觉。想象一下,你在弹拨一根吉他弦,当弦震动时,它会发出某个音调。现在,把你的手指放在正好位于弦中间的品格上,再拨一次弦。这时弦的震动片面只有最初长度的一半,即1/2,而它发出的音调正好比最初的音调高八度(指在do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音阶中,从一个do到下一个do的音程)。倘若弦的震动片面是最初长度的2/3,那么它发出的音调会比最初的音调高五度(从do到sol的音程,比如《星球大战》主题弯的前两个音调)。倘若弦的震动片面是最初长度的3/4,那么它发出的音调会比最初的音调高四度(《婚礼进走弯》的前两个音调之间的音程)。

古希腊音笑家晓畅八度、四度和五度的旋律概念,并且认为它们很美妙。音笑(实际世界的祥和)与数字(想象世界的祥和)之间的这栽出人料想的有关,引领毕达哥拉斯学派形成了“万物皆数”的奥秘信心。据说他们首终认为,即使是在轨道上运走的走星也会演奏音笑——天体之音。

此后,历史上很众远大的数学家和科学家都染上了“毕达哥拉斯炎”。天文学家约翰尼斯·开普勒尤为主要,物理学家保罗·狄拉克亦然。吾们将会看到,“万物皆数”的信心驱使他们去探寻、想象和谋求宇宙的祥和,并最后推动他们取得了转折世界的发现。

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